Täisastakuga ja mitte täisastakuga mudelid, reparametriseerimis-tingimused

Üldine lineaarne mudel on täisastakuga, kui täisastakuga (kõik read-veerud lineaarselt sõltumatud, pööratav) on tema plaanimaatriksi transponeeritud maatriksi ja plaanimaatriksi enese korrutismaatriks, näiteks . Nagu järgmisest peatükist nähtub, kujutab just taoline korrutismaatriks enesest mudeli parameetrite hindamiseks konstrueeritud võrrandi kordajatemaatriksit.

Mudeli parameetrid on üheselt hinnatavad üksnes täisastakuga mudeli korral, sest vaid siis leidub kasutataval kordajatemaatriksil ühene pöördmaatriks; mitte-täisastakuga mudeli korral on erinevaid parameetrite hinnanguid palju (teoreetiliselt lõpmatu arv).

Tavalise fikseeritud mudeli (2) korral piisab mudeli parameetrite üheseks hinnanguks ka plaanimaatriksi enese veergude lineaarsest sõltumatusest. Täisastakuga on näiteks regressioonanalüüsi mudel, sest plaanimaatriksi ühtedest koosnev vabaliikmele vastav veerg pole üldjuhul mingi lineaarkombinatsiooni tulemusena teisendatav argumenttunnuse väärtuste veeruks.

Näide 7. Püstitades näite 2 alusel lihtsa lineaarse regressioonimudeli prognoosimaks tallede võõrutusmassi võõrutusvanuse abil, saame regressioonivõrrandi maatrikskujul

,

kus

ja .

Plaanimaatriksi X veeruastak on 2, sest vabaliikmele ja regressioonikordajale vastavad veerud on lineaarselt sõltumatud, ja seega on parameetervektor üheselt hinnatav.

Täisastakuga pole aga dispersioonanalüüsi mudel, sest näiteks mistahes faktori kõigile tasemetele vastavate veergude summeerimine annab tulemuseks ühtedest koosneva vabaliikmele vastava veeru. Seega pole ka dispersioonanalüüsi korral mudeli parameetrite ühene hindamine võimalik. Lahenduseks on hinnata mudeli parameetrite funktsioone, mis on üheselt hinnatavad (nn hinnatavad funktsioonid - estimable functions, vt pt 6.2) või kasutada mudeli parameetrite reparametriseerimist. Viimane tähendab parameetritele mingi lisakitsenduse rakendamist, mille all võib mõista näiteks iga faktortunnuse viimase taseme mõju nulliga võrdsustamist ja teiste tasemete mõjude hindamist selle suhtes (kasutab näiteks statistikapakett SAS ja kasutatakse ka antud õppevahendi järgnevais näidetes) või traditsioonilisema reparametriseerimistingimusena iga faktori mõjude summa nulliga võrdsustamist. Seejuures peab selliseid lisakitsendusi olema sama palju, kui on plaanimaatriksis lineaarselt sõltuvaid veerge.

Näide 8. Mudel (1) näites 2 ei ole täisastakuga, sest plaanimaatriksi

veeruastak on 6, mis on väiksem maatriksi X veergude arvust (9) -- veergude lineaarne sõltuvus ilmneb selles, et kõigi diskreetsete faktorite korral annavad neile vastavad plaanimaatriksi veerud summeeritult esimese, vabaliikmele vastava ühtedest koosneva veeru.

Faktorite mõjude üheseks hindamiseks on vajalik teatud kitsenduste püstitamine. Näiteks võime nõuda kõigi faktorite korral nende mõjude summa nulliga võrdumist (, , ) või siis iga faktori viimase efekti nulliga võrdumist (, , ).