Üldine lineaarne mudel maatrikskujul

Üldiste lineaarsete mudelite maatrikskujul esitamiseks kasutatakse eriliste maatriksite abi, mis seostavad iga objekti just temal sooritatud mõõtmistega või temale vastava faktori tasemega. Selliseid maatrikseid, mille ridade arv võrdub uuritud objektide arvuga ja veergude arv mudelist hinnatavate efektide arvuga, nimetatakse plaani- e disainimaatriksiteks.

Regressioonivõrrand, kirjapanduna objekti i kohta,

,

näeb maatrikskujul esitatuna välja järgmiselt:

,

(2)

kus ja on vastavalt funktsioontunnuse väärtuste ja prognoosivigade vektorid, on hinnatavate parameetrite vektor ja plaanimaatriks sisaldab ühte veergu kummagi hinnatava parameetri tarvis - esimene, ühtedest koosnev veerg tähendab, et kõigil objektidel mõõdetud uuritava tunnuse väärtusi püütakse prognoosida sama keskmise abil, teine, argumenttunnuse väärtusi sisaldav veerg seob igal objektil mõõdetud uuritava tunnuse väärtuse läbi kordaja b just temale vastava argumenttunnuse väärtusega.

Dispersioonanalüüsi korral koosneb plaanimaatriks vaid nullidest ja ühtedest - mingile objektile vastavas reas ja faktori tasemele vastavas veerus on 1, kui mõõtmine antud objektil on sooritatud just sellel tasemel, ja 0 vastupidisel juhul.

Näiteks ühefaktorilise dispersioonanalüüsi mudel

on maatriksite abil esitatav kujul

ehk

.

Siin n_i tähistab faktori i-ndale tasemele vastavate objektide arvu, q on faktori tasemete arv (), on ühtedest koosnev -vektor: , ja 0 on sobiva dimensiooniga nullidest koosnev vektor.

Kovariatsioonanalüüsi mudel, milles on nii mittearvulisi kui ka arvulisi faktortunnuseid, sisaldab plaanimaatriksis nii nulle ja ühtesid sisaldavaid veerge kui ka pidevate argumenttunnuste väärtuseid.

Kokkuvõttes kujutab üldise lineaarse mudeli maatriksesitus enesest tavalise lineaarvõrranditesüsteemi maatriksesitust, kus kordajate maatriksi rollis on plaanimaatriks, tundmatud parameetrid on koondatud vektorisse ja vabaliikmete veerg moodustub vahest .

Näide 3. Paneme näite 2 mudeli (1) kirja ka maatrikskujul (2).

Vektor y on tallede võõrutusmasside vektor kujul

.

Plaanimaatriks X sisaldab ühte rida iga vaatluse ja ühte veergu iga vektoris kirjas oleva mudeli parameetri kohta.

Hinnatavate parameetrite vektor sisaldab üheksat elementi (parameetrite tähistused on üle võetud sama mudeli objektiviisi esitusest):

.

Plaanimaatriks X, mis seob iga vaatluse just temale vastava faktori tasemega või väärtusega, näeb praeguse tallede järjestuse korral välja järgmine:

,

(3)

(parema jälgitavuse huvides on erinevatele faktoritele vastavad blokid eraldatud punktiirjoontega).

Juhuslike vigade vektor on kujul

.

Näitamaks, et eelnevalt defineeritud plaanimaatriks tõepoolest iga talle võõrutusmassi just temale vastavate faktorite tasemetega seob, asendame kõik väljakirjutatud vektorid ja maatriksid mudelisse (2) ning sooritame korrutustehte X. Tulemuseks saame maatriksvõrduse

.