Pöördmaatriks
Maatriksi
A pöördmaatriks A-1
on maatriks, millega esialgset maatriksit vasakult
või paremalt korrutades on tulemuseks ühikmaatriks:
AA-1
= I ja A-1A = I.
Pöördmaatriks
leidub igal mittenullilise determinandiga (mittesingulaarsel)
ruutmaatriksil.
Üldine
valem maatriksi A pöördmaatriksi A-1
elementide leidmiseks on järgmine
aij-1
= [(-1)i+j | ATij
|] / | A |,
kus
aij-1 tähistab maatriksi
A-1 ij.-t elementi, ATij
on maatriksi A transponeeritud maatriksi AT
ij. miinor, | ATij
| on selle miinori determinant ja | A | on
maatriksi A determinant.
Kui
A on 2x2-maatriks, avaldub tema pöördmaatriks
kujul
.
Näide.
.
.
Teostage
ise kontroll, kas leitud pöördmaatriks
rahuldab pöördmaatriksi tingimusi (AA-1
= I ja A-1A = I)!
Omadused
-
(A-1)-1 = A.
-
|A-1| = |A|-1,
kui A on mittesingulaarne.
-
(AT)-1 = (A-1)T.
-
(ABC)-1 = C-1B-1A-1;
A, B, C - mittesingulaarsed.
-
Diagonaalmaatriksi pöördmaatriks on samuti diagonaalmaatriks,
kusjuures tema diagonaalielementideks on esialgse
maatriksi diagonaalielementide pöördelemendid, s.t.
kui ,
siis .
Pöördmaatriks
leiab rakendust näiteks lineaarvõrrandisüsteemide
lahendamisel.
Korrutades
maatriksvõrduse
Ax
= c
mõlemad
pooled vasakult läbi kordajate maatriksi A
pöördmaatriksiga, saame lahendivektori x kujul
x = A-1c.
Näide.
Olgu meil tarvis lahendada lineaarvõrranditesüsteem
.
Sama
süsteem maatrikskujul on
,
millest
![](pildid/image113.gif)
ehk
x = 17, y = 8 ja z = -3.
Teostage
ise kontroll. Kas leitud väärtused rahuldavad
võrrandisüsteemi?
|